Radicación
En matemática, la radicación de orden n de un número a es cualquier número b tal que , donde n se llama índice u orden,
a se denomina radicando, y b es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también
con ese nombre. La notación a seguir tiene varias formas:
a se denomina radicando, y b es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también
con ese nombre. La notación a seguir tiene varias formas:
- .
Para todo n natural, a y b reales positivos, se tiene la equivalencia:
- .
Dentro de los números reales positivos, siempre puede encontrarse una única raíz enésima también positiva. Si el número a es negativo entonces sólo existirá una raíz real cuando el índice n sea impar. La raíz enésima de un número negativo no es un número real (no está definida dentro de los números reales) cuando el índice n es par.
Dentro de los números complejos , para cada número z siempre es posible encontrar exactamente n raíces enésimas diferentes.
La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: en vez de .La raíz de orden tres se llama raíz cúbica.
Propiedades
Como se indica con la igualdad y la raíz cuadrada de la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de un cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación.
- Ejemplo
- =
Raíz de un producto
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.- Ejemplo
- = =
Se llega a igual resultado de la siguiente manera:Raíz de un cociente
La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.- =
- Ejemplo
- =
Cuando esta propiedad se aplica a números, no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.- Ejemplos
- =
- =
Raíz de una raíz
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.- =
- Ejemplo
- =
OPERACIONES CON RADICALES- Sumas y restas
Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.Ejemplos:a) O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.b) Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan:Ahora si son semejantes y podemos sumarlosc) No son semejantesse suman los que son semejantesy ya no podemos hacer nada más- Multiplicaciones y divisiones
Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.Ejemplos:d)e)f) no tienen el índice común. Para reducir a índice común se hace igual que para reducir a denominador común.ahora si se pueden multiplicarg)EJERCICIOS PROPUESTOS:
Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales:Ejercicios de aplicación.
Multiplicar los siguientes radicales indicados:Ejercicios de aplicación.
Dividir los siguientes radicales indicados:Ejercicios de aplicación.
Para dividir radicales de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se dividencomo si fueran radicales del mismo índice.Dividir los siguientes radicales indicados:RACIONALIZACION:Es una operación que tiene por objeto hacer desaparecer siempre el radical del denominador.1er Caso: cuando el radical del denominador es de 2do grado, es decir posee como radical una raíz cuadrada.Ejemplos:Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el factor racionalizante del denominador,en éste caso por sí mismo.2do Caso: cuando el radical del denominador es mayor al de 2do grado, es decir radicales de 3er,4to, 5to y más grado.Ejemplos:Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el radical del mismo índice con la misma cantidad sub-radical pero el exponente de la cantidad sub-radical debe expresar la diferencia que existe entre el índice del radical y el exponente de la cantidad sub-radical.3er Caso: cuando el radical del denominador es un binomio.Ejemplos:Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por la conjugada del denominador.Se llaman cantidades conjugadas a 2 binomios que tienen las mismas cantidades literales, los mismos coeficientes y los mismos exponentes, diferenciando solamente en el signo del 2do término del 2do binomio.Ejercicios de aplicación.Racionalizar el denominador (1er Caso) de los siguientes cocientes:Racionalizar el denominador (2do Caso) de los siguientes cocientes:Racionalizar el denominador (3er Caso) de los siguientes cocientes:
Ecuaciones con radicales.Solamente vamos a resolver ecuaciones en las cuales el valor de "x" se encuentra bajo el signo radical; por eso recibe el nombre de ecuación irracional.Ejemplo:Ejercicios de aplicación.
Resolver cada una de las ecuaciones siguientes y comprobar el resultado:Autor: Hugo David Giménez Ayala
En este tema hay ejercicios propuestos para los alumnos de novenos.
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