Buscar

Cargando...

RADICACIÓN EN R


Radicación

En matemática, la radicación de orden n de un número a es cualquier número b tal que \scriptstyle b^n = a, donde n se llama índice u orden,
a se denomina radicando, y b es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también
con ese nombre. La notación a seguir tiene varias formas:
y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}.
Para todo n natural, a y b reales positivos, se tiene la equivalencia:
a = b^n \iff  b = \sqrt[n]{a}.
Dentro de los números reales \scriptstyle \R^+ positivos, siempre puede encontrarse una única raíz enésima también positiva. Si el número a es negativo entonces sólo existirá una raíz real cuando el índice n sea impar. La raíz enésima de un número negativo no es un número real (no está definida dentro de los números reales) cuando el índice n es par.
Dentro de los números complejos \scriptstyle \mathbb{C}, para cada número z siempre es posible encontrar exactamente n raíces enésimas diferentes.
La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: \sqrt{x} en vez de \sqrt[2]{x}.La raíz de orden tres se llama raíz cúbica.

Propiedades

Como se indica con la igualdad y la raíz cuadrada de y = \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}, la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de un cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación.
Ejemplo
\sqrt[4]{x^3} = \ x^{3/4}.

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.
\sqrt[n]{{a} \cdot {b}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}
Ejemplo
  • \sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^4} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3\cdot 4  = 12.
Se llega a igual resultado de la siguiente manera:
\sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12.

Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{a^{1/n}}{b^{1/n}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}
Ejemplo
  • \sqrt{\frac{9}{4}}  =  \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}.
Cuando esta propiedad se aplica a números, no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.
Ejemplos
  • \sqrt[3]{\frac{x^3}{y^9}}   =  \frac{x^{3/3}}{y^{9/3}} = \frac{x}{y^3}.
  • (\sqrt[4]{a^2})^8  =  (\ a^{2/4})^8 = \sqrt[4]{a^{16}}.

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.
\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}.
Ejemplo
  • \sqrt[9]{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[27]{5}.
OPERACIONES CON RADICALES

  1. Sumas y restas

Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.

Ejemplos:

a)                O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.

b)                        Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan:


Ahora si son semejantes y podemos sumarlos


c)  No son semejantes


 se suman los que son semejantes

 y ya no podemos hacer nada más


  1. Multiplicaciones y divisiones

Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.

Ejemplos:

d) 

e) 

f)  no tienen el índice común. Para reducir a índice común se hace igual que para reducir a denominador común.

 ahora si se pueden multiplicar


g) 


EJERCICIOS PROPUESTOS:

Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales:
Operaciones con números reales

Ejercicios de aplicación.

Multiplicar los siguientes radicales indicados:
Operaciones con números reales
Operaciones con números reales

Ejercicios de aplicación.

Dividir los siguientes radicales indicados:
Operaciones con números reales
Operaciones con números reales


Ejercicios de aplicación.

Para dividir radicales de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se dividen
como si fueran radicales del mismo índice. 
Dividir los siguientes radicales indicados:
Operaciones con números reales

RACIONALIZACION:
Es una operación que tiene por objeto hacer desaparecer siempre el radical del denominador.
1er Caso: cuando el radical del denominador es de 2do grado, es decir posee como radical una raíz cuadrada.
Ejemplos:
Operaciones con números reales
Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el factor racionalizante del denominador,en éste caso por sí mismo.
2do Caso: cuando el radical del denominador es mayor al de 2do grado, es decir radicales de 3er,4to, 5to y más grado.
Ejemplos:
Operaciones con números reales
Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el radical del mismo índice con la misma cantidad sub-radical pero el exponente de la cantidad sub-radical debe expresar la diferencia que existe entre el índice del radical y el exponente de la cantidad sub-radical.
3er Caso: cuando el radical del denominador es un binomio.
Ejemplos:
Operaciones con números reales
Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por la conjugada del denominador.
Se llaman cantidades conjugadas a 2 binomios que tienen las mismas cantidades literales, los mismos coeficientes y los mismos exponentes, diferenciando solamente en el signo del 2do término del 2do binomio.
Ejercicios de aplicación.
Racionalizar el denominador (1er Casode los siguientes cocientes:
Operaciones con números reales
Racionalizar el denominador (2do Caso) de los siguientes cocientes:
Operaciones con números reales
Racionalizar el denominador (3er Caso) de los siguientes cocientes:
Operaciones con números reales
Operaciones con números reales


Ecuaciones con radicales.
Solamente vamos a resolver ecuaciones en las cuales el valor de "x" se encuentra bajo el signo radical; por eso recibe el nombre de ecuación irracional.
Ejemplo:
Operaciones con números reales

Ejercicios de aplicación.

Resolver cada una de las ecuaciones siguientes y comprobar el resultado:
Operaciones con números reales
Autor: Hugo David Giménez Ayala



1 comentario:

  1. En este tema hay ejercicios propuestos para los alumnos de novenos.

    ResponderEliminar