Potencias con exponente entero
Con exponente racional o fraccionario
Propiedades
1.a0 = 1 ·
2.a1 = a
3.Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
am · a n = am+n
(−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128
4.División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
am : a n = am - n
(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = -8
5.Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
(am)n=am · n
[(−2)3]2 = (−2)6 = 64
6.Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases
an · b n = (a · b) n
(−2)3 · (3)3 = (−6)3 = −216
7.Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.
an : b n = (a : b) n
(−6)3: 33 = (−2)3 = −8
Variables con exponentes
Cómo multiplicarlas y dividirlas
Un exponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces se usa la variable en una multiplicación. |
Ejemplo: y2 = yy
(esto es y multiplicado por y, porque en Álgebra poner dos letras juntas significa multiplicarlas)
Igualmente z3 = zzz y x5 = xxxxx
Exponente 1
Si el exponente es 1, la variable está sola (por ejemplo x1 = x)
Normalmente no escribimos el "1", pero a veces ayuda recordar que x también es x1
Exponente 0
Si el exponente es 0, entonces no estás multiplicando nada y la respuesta es sólo "1" (por ejemplo y0 = 1)
Multiplicar variables con exponentes
Entonces, cómo multiplicas esto:
(y2)(y3)
Sabemos que y2 = yy, y y3 = yyy así que lo escribimos todo:
y2 y3 = yyyyy
Eso son 5 "y"s multiplicadas juntas, así que el nuevo exponente es 5:
y2 y3 = y5
¿Pero para qué contar las "y"s cuando los exponentes ya nos dicen cuántas hay?
Los exponentes nos dicen que hay dos "y"s multiplicadas por 3 "y"s que hacen un total de 5 "y"s:
y2 y3 = y2+3 = y5
¡Así que el método más simple es sumar los exponentes! (Nota: esa es sólo una de las Leyes de los Exponentes)
Variables mezcladas
Si tienes una mezcla de variables, sólo suma los exponentes de cada una, así :
(X3 Y2 ). ( X4 Y3 )
= X3+4 Y2+3 = X7 Y5
Con constantes
Normalmente habrá constantes (números como 3, 2.9, ½ etc) mezclados también.
(2XY). (4Y)= (2.4) (X. Y1+1) = 8 X Y2
Exponentes negativos
¡Los exponentes negativos quieren decir dividir!
x-1 = | 1 | x-2 = | 1 | x-3 = | 1 | ||
x | x2 | x3 |
¡Acostúmbrate a este idea, es muy importante y útil!
Dividir
Entonces, ¿cómo se hace esto? |
| ||||
Si escribimos las multiplicaciones tenemos: |
| ||||
Podemos quitar las "y"s que coincidan arriba y abajo (porque y/y = 1), así que queda: | y |
Entonces las 3 "y"s sobre la línea se reducen con 2 "y"s debajo, y queda 1 "y" así:
y3 | = | yyy | = y3-2 = y1 = y |
y2 | yy |
O, podrías haberlo hecho así:
y3 | = y3y-2 = y3-2 = y1 = y |
y2 |
Así que... ¡sólo resta los exponentes de las variables que están dividiendo!
Puedes ver lo que está pasando si escribes todas las multiplicaciones, y después "quitas" las variables que están arriba y abajo:
x3 y z2 | = | xxx y zz | = | = | xx | = | x2 | |
x y2 z2 | x yy zz | y | y |
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